摘 要：本文介绍了交流永磁同步电机的数学模型，并系统分析了空间矢量算法的原理及具体实现方法。举例介绍了空间矢量算法的具体实现步骤，及SVPWM的调制方法。通过引入r1r2r3坐标系，使扇区判断的方法更加直观、更加容易理解。采用i_d=0的控制策略，在Matlab/Simulink环境下构建了永磁同步电机控制系统的仿真模型,并进行实验。实验结果表明空间矢量控制方法可以使永磁同步电机运行平稳，具有良好的调速性能和转矩控制特性。

关键词：空间矢量控制 电压空间矢量脉宽调制 永磁同步电机

永磁同步电机因具有体积小、重量轻、控制系统相对简单及效率高等优点，已逐渐成为交流伺服系统执行电机的主流。空间矢量脉宽调制（SVPWM）技术具有直流母线电压利用率高、开关损耗小、高次谐波少、易于数字实现等特点，成为永磁同步电机的一种高效实用的控制策略。有趋势表明，矢量控制将淘汰标量控制而成为交流电机传动系统的工业标准控制技术^[1]。

为简化分析，忽略影响较小的参数，并作如下假设^[2]：

a）忽略铁心饱和；

b）不计涡流和磁滞损耗；

c）转子上没有阻尼绕组，永磁体也没有阻尼作用；

d）反电动势是正弦的。

(1)dq坐标系中的电压方程：

（1）

P---微分算子；

R---定子电枢绕组电阻；

ω---转子电角度速度。

(2)磁链方程：

（2）

L_d、L_q---定子绕组d、q轴电感；

ω_f---转子永磁体产生的磁链。

(3) dq坐标系下的电磁转矩方程：

正弦波表面永磁同步电机，转子是隐极式的，其轴和轴同步电抗几乎相等，L_q=L_d，则式(3)可进一步简化为：

（4）

P_n---电机极对数。

(4)机械运动方程：

Ω=ω/P_n---机械转速；

T_L---机械负载转矩；

J---转动惯量；

B---粘滞摩擦系数。

电压空间矢量算法就是用逆变器的八种状态对应的八个基本电压空间矢量来组合逼近旋转的目标空间电压矢量，产生出的旋转的磁场与转子永磁体产生的磁场相互作用形成电磁力，推动转子旋转。

图1 三相电压型逆变器与电机连接图

三相电压源逆变器如图1所示，V₁至V₆为6个功率晶体管。用S_A、S_B、S_C三个开关函数分别代表逆变器三个桥臂的开关状态。当上桥臂开关管导通时，该桥臂的开关状态为1；当下桥臂开关管导通时，该桥臂的开关状态为0。由于各桥臂上下两个开关管只能有一个导通，三个桥臂开关状态只有“1”和“0”两种，于是开关函数S_X（X=A,B,C）为二值函数。（S_A，S_B，S_C）组合在一起一共有8种状态：100、110、010、011、001、101、111、000。

三相逆变器的输出相电压[U_A U_B U_C]^T与逆变器三桥臂的开关状态矢量[S_A S_B S_C]^T的关系为：

（5）

其中，U_d是直流母线电压。

逆变器八种开关状态对应八个电压空间矢量，其中六个有效的非零矢量（U₁（001）、U₂（010）、U₃（011）、U₄（100）、U₅（101）、U₆（110）把整个空间划分为六个扇区，这六个电压空间矢量的幅值相同，相邻两个矢量的夹角为60°。另外两个零矢量U₀（000）、U₇（111）位于原点。基本电压空间矢量如图2所示。

图2 基本电压矢量图

在逆变器实际运行中，六个非零矢量磁通运动的轨迹为正六边形，形成了正六边形的旋转磁场。我们希望得到的是圆形的旋转磁场，因此需要得到其它角度的电压矢量。这就需要我们用六个非零电压矢量和两个零矢量的线性时间组合来合成我们希望得到的新的电压矢量。当PWM的周期足够小时，电压空间矢量的轨迹便可以近似为圆形^[3]。

图3 第一扇区电压空间矢量分解图

以第一扇区为例，如图3所示。要想合成U_sref，则用其相邻的两个电压空间矢量U₄（100）、U₆（110）和零矢量来合成，表达式为：  

T=T₄+T₆+T₀        (7)

其中T为一个PWM周期，T₄、T₆分别为电压空间矢量U₄（100）和U₆（110）的作用时间，T₀为零矢量作用时间。

将U_sref分解到aβ坐标系得：

U_a、U_β分别为U_sref在aβ坐标系a、β轴上的分量，。

由公式(2)、(3)、(4)可以解得合成目标空间矢量的两个基本矢量U₄（100）、U₆（110）和零矢量的作用时间：

（9）

由此可以推广到其他扇区，得到目标空间电压矢量在其他扇区时，相邻两个基本电压矢量在一个PWM周期的作用时间。

引入r1r2r3坐标系，如图4所示，该坐标系是由ABC三相静止坐标系逆时针旋转90°得到的^[4]。

图 4 r1r2r3坐标系

将dq坐标系的U_d、U_q转换到aβ坐标系，然后再转换到r1r2r3坐标系。r1r2r3坐标系与aβ坐标系之间的关系为：

（10）

若U_r1＞0，令A=1；若U_r1＜0，令A=0。

若U_r2＞0，令B=1；若U_r2＜0，令B=0。

若U_r3＞0，令C=1；若U_r3＜0，令C=0。

令N=A+2B+4C，则可由N值根据表1判断出目标电压空间矢量所在的扇区号。

表1 扇区号与N值对应关系表

扇区号	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ
3	1	5	4	6	2

    根据上述方法计算各个扇区的基本电压矢量作用时间T₁、T₂，发现各扇区T₁、T₂的取值为、、六种取值中的一种。于是我们定义X、Y、Z如下^[5]：

（11）

两个基本电压矢量总的作用时间不会超过一个PWM周期，如果T₁+T₂＞T，则进行饱和限幅：   （12）

（13）

不同扇区的矢量作用时间T₁、T₂的取值表2所示：

表2 各扇区基本电压矢量作用时间取值表

扇区号	II	VI	I	IV	III	V
N	1	2	3	4	5	6
T1	Z	Y	-Z	-X	X	-Y
T2	Y	-X	X	Z	-Y	-Z

在第二扇区,目标空间矢量由U₂（010）和U₆（110）来合成。SVPWM调整模式采用连续开关调整。考虑到使逆变器开关管开关损耗最小，每次切换开关状态只有一个功率开关器件动作。该扇区要合成的目标空间矢量由三段零矢量和四段相邻的两个非零矢量组成。U₀（000）零矢量作用于整个周期的始末，U₇（111）零矢量作用于中间，另外两个非零矢量按照每次只有一个功率开关管动作的原则分布于两个零矢量中间。基本电压矢量作用顺序依次为U₀（000）、U₂（010）、U₆（110）、U₇（111）、U₆（110）、U₂（010）、U₀（000），各个电压矢量的作用时间依次为T₀/4、T₁/2、T₂/2、T₀/2、T₂/2、T₁/2、T₀/4，如图5所示。T₁代表序号小的空间矢量的作用时间，T₂代笔序号大的空间矢量的作用时间。

 图5 逆变器各桥臂开关作用时间及三角波调整信号

由以上分析可得逆变器三个桥臂切换顺序为依次为B相、A相、C相，切换时间点依次为T_B、T_A、T_C。令：

（14）

（15）

（16）

六个扇区逆变器A相、B相、C相桥臂开关动作时间T_A、T_B、T_C如表3所示。

表3 各扇区三桥臂开关动作时间表

扇区号		Ⅱ	Ⅵ	Ⅰ	Ⅳ	Ⅲ	Ⅴ
	N	1	2	3	4	5	6
	TA	Ton2	Ton1	Ton1	Ton3	Ton3	Ton2
	TB	Ton1	Ton3	Ton2	Ton1	Ton3
	TC	Ton3	Ton2	Ton3	Ton1	Ton2	Ton1

逆变器A相、B相、C相桥臂开关动作时间T_on1、T_on2、T_on3分别同以PWM周期为周期、以T/2为幅值的等腰三角波比较^[6]，第二扇区的三角波调整如图5所示。由于三角波幅值与时间值是1:1的，三角波与T_on1、T_on2、T_on3的交点对应的时间即为T_B、T_A、T_C，由此即可完成SVPWM的调制。

在Matlab/Simulink平台上建立系统的仿真模型，如图6所示。选取的永磁同步电机的参数为:功率0.75Kw，额定转矩2.4Nm,最大输出转矩7.2Nm，额定转速3000r/min,转子惯量1.2×10^-4Kgm²，转矩常数0.571Nm/Arms，相绕组电阻0.901Ω，相绕组电感6.552mH。

图 6 永磁同步电机空间矢量算法仿真模型

采用i_d=0的控制策略，整定电流环和速度环的PI参数后进行下述实验。在额定负载2.4Nm下，以转速给定1000r/min启动，在0.1s时刻速度给定由1000r/min突变到2000r/min，仿真时间为2s。

电机的转速如图7所示，输出转矩如图8所示，A相定子电流波形如图9所示。

由图7、图8、图9的仿真结果可见，电机以最大输出转矩启动，速度迅速上升至给定值，过渡时间较短。当转速与跟定值相等时，电机输出转矩稳定在额定转矩。速度给定在0.1s时刻由1000r/min突变到2000r/min时，转矩迅速增大，使电机转速快速上升至2000r/min。永磁同步电机运行稳定，有良好的调速性能和转矩特性。

图7 电机转速

图8 电机输出转矩

图9  A相定子电流

在Matlab/Simulink环境下建立了永磁同步电机控制系统仿真模型，并用M语言编写了SVPWM模块，采用控制策略，电流环和速度环采用PI控制,PI参数整定的方法选用实验法反复调试得到。实验结果表明空间矢量控制方法可以使永磁同步电机运行平稳，具有良好的快速性，验证了本控制方法的正确性和有效性。

于乐华（1987-）男 硕士研究生，就读于山东大学控制科学与工程学院，研究方向为运动控制及现代数控技术。

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